Podstawienia Eulera

Twierdzenie 1: Podstawienia Eulera

Całkę postaci

\( \int R \left( x, \sqrt{ ax^2+bx+c } \right) dx, \)

gdzie \( a \neq 0, \Delta=b^2-4ac \neq 0 \) oraz \( R \) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej zmiennej \( t, \) stosując podstawienia:

\( \sqrt{ ax^2+bx+c }=x\sqrt{ a }-t, \qquad \text{ jeśli } \qquad a>0, \)

II.

\( \sqrt{ ax^2+bx+c }=xt-\sqrt{ c }, \qquad \text{ jeśli } \qquad c>0, \)

III.

\( \sqrt{ ax^2+bx+c }= \sqrt{ a(x-x_1)(x-x_2) }=(x-x_1)t , \qquad \text{ jeśli } \qquad \Delta>0. \)

Uwaga 1:

W podstawieniu (I.) różnicę \( (x\sqrt{ a }-t) \) można zastąpić sumą \( (x\sqrt{ a }+t) \) lub różnicą \( ( t-x\sqrt{ a }). \) Zmiana taka może spowodować, że wynik całkowania będzie wyrażony za pomocą innej funkcji pierwotnej, ale jednak różniącej się od tej poprzedniej jedynie o stałą.
Analogicznie w podstawieniu (II.) różnicę \( (xt-\sqrt{ c }) \) można zastąpić sumą \( (xt+\sqrt{ c }) \) lub różnicą \( (\sqrt{ c }-xt). \)

Przykład 1: Pierwsze podstawienie Eulera

Stosując pierwsze podstawienie Eulera rozwiążmy całkę

\( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }. \)

Do obliczenia tej całki można zastosować I podstawienie Eulera, gdyż w trójmianie kwadratowym współczynnik
\( a=6 \) jest dodatni.

Podstawiając

(1)

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=t-\sqrt{ 6 }x \)

podnosimy obustronnie do kwadratu, aby wyliczyć \( x \)

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=t-\sqrt{ 6 } x / \,( )^2 \)

\( 6x^2-5x+1=t^2-2\sqrt{ 6 }xt+6x^2 \)

\( x\left(2\sqrt{ 6 }t-5\right)=t^2-1 \)

\( x=\frac{ t^2-1 }{ 2\sqrt{ 6 }t-5 } \)

a następnie otrzymujemy \( dx \)

\( dx=\frac{ 2t \cdot (2\sqrt{ 6 }t-5)-(t^2-1)\cdot 2\sqrt{ 6 } }{ \left(2\sqrt{ 6 }t-5\right)^2 }dt=\frac{ 2\left(\sqrt{ 6 }t^2-5t+\sqrt{ 6 }\right) }{ \left(2\sqrt{ 6 }t-5\right)^2 }dt \)

Mamy wówczas

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=t-\sqrt{ 6 } \cdot \frac{ t^2-1 }{ 2\sqrt{ 6 }t-5 }=\frac{ \sqrt{ 6 }t^2-5t+\sqrt{ 6 } }{ 2\sqrt{ 6 }t-5 }. \)

Wracając do całki otrzymujemy

\( I=\int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }= \int \frac{ \frac{ 2\left(\sqrt{ 6 }t^2-5t+\sqrt{ 6 }\right) }{ \left(2\sqrt{ 6 }t-5\right)^2 }dt }{ \frac{ \sqrt{ 6 }t^2-5t+\sqrt{ 6 } }{ 2\sqrt{ 6 }t-5 } }=\int \frac{ 2 }{ 2\sqrt{ 6 }t-5 }\,dt=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left|2\sqrt{ 6 }t-5\right|+C. \)

Przekształcając podstawienie mamy

\( t=\sqrt{ 6x^2-5x+1 }+\sqrt{ 6 }x, \)

i wtedy

\( I=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left|2\sqrt{ 6 }(\sqrt{ 6x^2-5x+1 }+\sqrt{ 6 }x)-5\right|+C. \)

Przykład 2: Drugie podstawienie Eulera

Stosując drugie podstawienie Eulera rozwiążmy całkę

\( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }. \)

Do obliczenia tej całki można zastosować II podstawienie Eulera, gdyż w trójmianie kwadratowym
\( c=1 \) jest dodatnie.
Stosujemy drugie podstawienie Eulera

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=xt-1. \)

Chcemy wyliczyć \( x, \) dzięki \( t \) a potem \( dx. \)
Podnosząc równanie stronami do kwadratu otrzymujemy

\( x^2(t^2-6)=x(2t-5) \)

i następnie dzielimy równanie stronami przez \( x \)

\( x=\frac{ 2t-5 }{ t^2-6 }. \)

Wówczas różniczkując równanie stronami mamy

\( dx=\frac{ 2 \cdot (t^2-6)-(2t-5)\cdot 2t }{ (t^2-6)^2 }dt=\frac{ -2(t^2-5t+6) }{ (t^2-6)^2 }dt. \)

Zauważmy, że wówczas

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=\frac{ 2t-5 }{ t^2-6 } \cdot t -1= \frac { t^2-5t+6 }{ t^2-6 }. \)

Wracając do całki mamy

\( I=\int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } } = \int \frac{ \frac{ -2(t^2-5t+6) }{ (t^2-6)^2 }dt }{ \frac { t^2-5t+6 }{ t^2-6 } }=\int \frac{ 2 }{ 6-t^2 } \,dt. \)

Korzystając z rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste i obliczeniu współczynników otrzymujemy

\( I=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \left( \int \frac{ dt }{ \sqrt{ 6 }+t }+\int \frac{ dt }{ \sqrt{ 6 }-t } \right)=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \left(\ln|\sqrt{ 6 }+t|- \ln|\sqrt{ 6 }-t| \right) +C=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left| \frac{ \sqrt{ 6 }+t }{ \sqrt{ 6 }-t }\right| +C \)

Wyliczając z podstawienia

\( t=\frac{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 }+1 }{ x } \)

otrzymujemy

\( \begin{align*}I&=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left| \frac{ \sqrt{ 6 }+\frac{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 }+1 }{ x } }{ \sqrt{ 6 }-\frac{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 }+1 }{ x } }\right| +C\\&=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left| \frac{ \sqrt{ 6 }x+1+ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }{ \sqrt{ 6 }x+1- \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }\right| +C.\end{align*} \)

Przykład 3: Trzecie podstawienie Eulera

Stosując trzecie podstawienie Eulera rozwiążmy całkę

\( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }. \)

Do obliczenia tej całki można zastosować III podstawienie Eulera, gdyż w trójmianie kwadratowym wyróżnik \( \Delta=1 \) jest większy od zera.
Chcąc zastosować trzecie podstawienie Eulera, musimy zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej.

\( 6x^2-5x+1=6\left(x-\frac{ 1 }{ 2 }\right)\left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right). \)

Wówczas przyjmujemy

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=\left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right) t. \)

Podnosząc obie strony do kwadratu i dzieląc przez \( \left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right) \) mamy

\( \sqrt{ 6\left(x-\frac{ 1 }{ 2 }\right)\left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right) }=\left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right) t \)

\( 6\left(x-\frac{ 1 }{ 2 }\right)\left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right)=\left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right)^2 t^2 \)

\( x(6-t^2)=3-\frac{ 1 }{ 3 }t^2 \)

\( x=\frac{ 3-\frac{ 1 }{ 3 }t^2 }{ 6-t^2 }. \)

Możemy wyliczyć \( dx \)

\( dx=\frac{ -\frac{ 2 }{ 3 }t \cdot (6-t^2)-(3-\frac{ 1 }{ 3 }t^2)\cdot (-2t) }{ (6-t^2)^2 }dt=\frac{ 2t }{ (6-t^2)^2 }dt \)

oraz

\( \sqrt{ 6x^2-5x+1 }=\left(\frac{ 3-\frac{ 1 }{ 3 }t^2 }{ 6-t^2 }-\frac{ 1 }{ 3 }\right) t=\frac{ t }{ 6-t^2 }. \)

Wracając do całki

\( I=\int \frac{ dx }{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } } = \int \frac{ \frac{ 2t }{ (6-t^2)^2 }dt }{ \frac{ t }{ 6-t^2 } }=\int \frac{ 2 }{ 6-t^2 } \,dt. \)

Stąd

\( \int \frac{ 2 }{ 6-t^2 } \,dt=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left| \frac{ \sqrt{ 6 }+t }{ \sqrt{ 6 }-t }\right| +C \)

i wyliczając \( t \) z podstawienia

\( t=\frac{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }{ \left(x-\frac{ 1 }{ 3 }\right) } \)

otrzymujemy odpowiedź

\( \begin{align*}I&=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left| \frac{ \sqrt{ 6 }+\frac{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }{ x-\frac{ 1 }{ 3 } } }{ \sqrt{ 6 }-\frac{ \sqrt{ 6x^2-5x+1 } }{ x-\frac{ 1 }{ 3 } } }\right| +C \\&=\frac{ \sqrt{ 6 } }{ 6 } \ln \left| \frac{ 3\sqrt{ 6 }x-\sqrt{6}+ 3\sqrt{ 6x^2-5x+1 } }{ 3\sqrt{ 6 }x-\sqrt{6}- 3\sqrt{ 6x^2-5x+1 } }\right| +C.\end{align*} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Podstawienia Eulera

Twierdzenie 1: Podstawienia Eulera

Uwaga 1:

Przykład 1: Pierwsze podstawienie Eulera

Przykład 2: Drugie podstawienie Eulera

Przykład 3: Trzecie podstawienie Eulera